集合

把一些能够确定的、不同的对象汇集在一起，就说有这些对象组成一个集合（有时简称集），组成集合的每个对象都是这个集合的元素.

集合通常用英文大写字母A，B，C，…表示，集合的元素通常用英文小写字母a，b，c，…表示.

如果a是集合A的元素，就记作a∈A，读作“a属于A”.

如果a不是集合A的元素，就记作a∉A，读作“a不属于A”.

例如，

A班级中有a，b，c三名同学；

B班级中有d，e，f三名同学。

就可以把学生a，b，c理解为集合A中的元素，把学生d，e，f理解为集合B中的元素。

可以记作a，b，c∈A；a，b，c∉B

d，e，f∈B，d，e，f∉A。

一般地，不含任何元素的集合称为空集，记作∅.

例如，设x²=-1，求x的所有实数解组成的集合，因为此方程无实数解，所有此集合为空集。

根据集合的概念可知，集合的元素具有以下特点：

（1）确定性：集合的元素必须是确实的.

例如，“接近1的数”不能成为元素，而“大于0.8，小于1.2的数”可以

所以，需要凭主观感觉得出的对象不能元素。

（2）互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的.

例如，单词success中所有英文字母组成的集合，包含的元素只有四个，即s，u，s，e

（3）无序性：集合中的所有元素可以任意排列.

例如，x（x-1）=0的所有实数解的集合既可以写成｛0，1｝也可以写成｛1，0｝

给定两个集合A和B，如果组成它们的元素完全相同，就称这两个集合相等，记作A=B．

集合可以根据它含有的元素个数分为两类：

含有有限个元素的集合称为有限集，含有无限个元素的集合称为无限集.

空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集

几种常见的数集：

自然数集：所有非负整数组成的集合，记作N

正整数集：自然数集N中，去掉元素0之后的集合，记作N*或N+（*在右上角，+在右下角）

整数集：所有整数组成的集合，记作Z

有理数集：所有有理数组成的集合，记作Q

实数集：所有实数组成的集合，记作R

列举法

把集合中的元素一一列举出来（相邻元素之间用逗号分隔），并写在大括号内，以此来表示集合的方法称为列举法.

例如，由两个元素0，1组成的集合可用列举法表示为 {0，1}

用列举法表示集合时，一般不考虑元素的顺序.

例如，{1，2}与｛2，1}表示同一个集合.

但是，如果一个集合的元素较多，且能够按照一定的规律排列，那么在不至于发生误解的情况下，可按照规律列出几个元素作为代表，其他元素用省略号表示.

例如，不大于100的自然数组成的集合，可表示为 {0，1，2，3， …，100}

无限集有时也可用列举法表示.

例如，自然数集N可表示为 {0，1，2，3，…， n，…｝

值得注意的是，只含一个元素的集合｛a｝也是一个集合，要将这个集合与它的元素a加以区别，事实上， a∈｛a｝

描述法

一般地，如果属于集合A的任意一个元素x都具有性质p(x)，而不属于集合A的元素都不具有这个性质，则性质p(x)称为集合A的一个特征性质.

此时，集合A可以用它的特征性质p(x)表示为

｛x｜p(x)｝.

区间及其表示

习惯上，如果a<b，则集合｛x｜a≤x≤b｝可简写为[a，b]，并称为闭区间.

例如，集合｛x|1≤x≤2｝可简写为闭区间[1，2]

类似地，如果a<b，则集合｛x｜a＜x＜b｝可简写为(a，b)，并称为开区间.

如果a<b，则集合｛x｜a＜x≤b｝可简写为(a，b]，并称为半开半闭区间.

上述区间中，a，b分别称为区间的左、右端点，b-a称为区间的长度.

区间可以用数轴形象地表示

例：如图为-2＜x≤3区间用数轴表示图

-2＜x≤3

如果用“十∞”表示“正无穷大”，用“一∞”表示“负无穷大”

则： 实数集R可表示为区间（一∞，十∞）