中垂线定理是什么意思（初中几何三点确定一个圆）

100次浏览发布时间：2024-11-15 10:23:45

我们知道可以有无数个圆经过平面上的一点A。

也很容易想到，经过平面的上的两个点（A，B）可以作无数个圆。

那么经过两点的圆和经过一点的圆有什么不同？是的，所有经过两点的圆的圆心都会在线段AB的中垂线上。

中垂线也叫“垂直平分线”：

一条垂直于线段（AB）的且平分该线段（AB）的直线，叫中垂线。

中垂线还有一个很重要的性质：

中垂线上点到A点的距离和到B点距离相等，即CA=CB，DA=DB，EA=EB

我们可以使用勾股定理来证明这个：

那么经过三个点能有几个圆呢？答案是1个，这就是三点确定一个圆。

在平面中三个点A，B，C，连接任意两条线段（AB，BC），分别做两条中垂线相交与O点，∵ OA=OB，OB=OC，∴OA=OB=OC，即点O为所作圆的圆心。以O为圆心，OA，OB，OC任意线段的长度为半径作圆，即可得到一个经过三点的圆，且这个圆只有一个（因为两条中垂线只有1个交点）。

我们发现“三点确定一个圆”跟另外一个几何图形很相似——三角形。三角形也是通过三点来确定，并且他们都共同遵守一个限制条件：三点不能在一条直线上。

三个不在一条直线上的点能确定一个圆和一个三角形。

（想想是什么原因？）

既然圆和三角形相似，那么可以确定三角形必然会有一个外接圆。

三角形外接圆就是经过三角形三个顶点的圆，而ΔABC是这个圆的内接三角形。

在一些几何题中经常会遇到一个ΔABC的外接圆，但没有给出圆心，我们可以通过作其中两条边的中垂线，它们的交点（O）就是该外接圆的圆心。

通过这个知识点我们还可以学会“三角形的三条中垂线交于一点”的证明方法：

因为我们知道点O到A，B，C的距离都相等，即AO=BO=CO，对于线段BC，O点到点B和点C的距离相等，那说明点O必然在线段BC的中垂线上。

由于点O同时在三条中垂线上，那么这三条中垂线交于一点。

有些同学对这点有点难理解——为什么一个点同时在三条直线上，就说明这三条直线交于一点？

我们知道同一平面内的三条直线会有三种状态：

① 相互平行，② 相交于一点，③ 相交于三点

只有第二种情况是一个点同时在三条直线上。

同样，对于同一平面的两条相交直线，我们可以说：

① 这两条直线相交于一点O

② O同时在这两条直线上

这两种说法是等价的。

中垂线定理是什么意思（初中几何 三点确定一个圆）