什么是约数（用公理体系重构中小学数学基础：约数和倍数）

把字码上去，结果发布不了，只好截图。

对于整数的除法，，同自然数除法一样，若，则称a能被b整除，记作，a是b的倍数（multiple），b是a的约数（divisor）（又称因数）。若一个整数是2的倍数，则称作偶数（even number），偶数集即；若不是2的倍数，则称作奇数（odd number），奇数集即。容易证明，偶数集和奇数集都是无限集。若a不能被b整除，记作。

对于正整数，我们总可以把它分解为若干正整数因数的积，比如：。对正整数n分解因数，若除了1和它本身外没有其他因数，则称n是质数（prime number）（又称素数），质数集记作

若除了1和它本身外还有其他因数，则称n是合数（composite number），合数集即

容易证明，合数集是无限集。

将一个大于1的自然数分解成若干个质数之积的结果，我们称作分解质因数（prime factorization）。可以定义为一个映射：构造集合，以若干质数按顺序组成的多元数组为元素的集合，映射，使得。

我们常把连加或连乘并具备一定规律的算式简记为：

把m分解质因数，可以记作

例2.2.1 将下列数分解质因数：8，9，γ

/*由于尚未阐述自然数的表示方法，所以用γ表示12，题解中ο表示24。*/

解：8=2×2×2，9=3×3，γ=2×2×3

定理2.2.1 质数集P是无限集。

证明：假设P是有限集，其中元素从小到大依次排列为

设，则用分别除m，馀数均为1

也就是说所有质数都不能整除m，m只能是质数，但显然，这与是最大质数矛盾

所以质数集P是无限集。

对于若干个正整数，由每一个数的所有约数组成一系列集合，它们的交集中的元素叫做这些正整数的公约数（common divisor），其中最大的一个数称作最大公约数（greatest common divisor），记作。求最大公约数可以定义为一个映射：由若干个正整数组成集合，以这样的集合为元素组成集合M，映射，使得等于中所有元素的最大公约数。

类似地，对于若干个正整数，由每一个数的所有倍数组成一系列集合，它们的交集中的元素叫做这些正整数的公倍数（common multiple），可以证明它们的公倍数集合是无限集，其中最小的一个数称作最小公倍数（lowest common multiple），记作。求最小公倍数可以定义为一个映射：由若干个正整数组成集合，以这样的集合为元素组成集合M，映射，使得等于中所有元素的最小公倍数。

求的最大公约数和最小公倍数，可以先将它们分别分解质因数，设得到的质因数为，对于，分解质因数得到的数量是，，，min表示若干个数的最小值，max表示若干个数的最大值，我们用表示t个s相乘的积。那么

例2.2.2 求6，8，γ的最大公约数和最小公倍数。

解：对6，8，γ分解质因数，它们的数量列表如下：

最大公约数为

最小公倍数为

若中若任意两个数的最大公约数均为1，则称这些数是互质数（relatively prime numbers）。

求最大公约数和最小公倍数还可以用短除法（short division）。将同时除以它们的质因数，得到新的一组数（不能整除的继续保留在数组中），继续这样操作，直至得到的数两两全部互质，将其中能整除所有数的公约数相乘就得到最大公约数，将所有公约数以及最后得到的一组数相乘就得到最小公倍数。

如例2.2.2，用短除法如右图所示，只有第一行的2是整除了三个数，所以最大公约数是2；把所有约数相乘，得到最小公倍数是2×2×3×1×2×1=ο。